Question

14．已知函数f（x）=ax²+2，g（x）=x³+bx，其中a，b都是常数．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）在它们交点（1，c）处具有公切线，求a，b的值；
（Ⅱ）当a²=4b时，求函数f（x）-g（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，可知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，故可求a、b的值；
（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，解关于导函数的不等式求出函数的单调区间即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=ax²+2（a＞0），则f′（x）=2ax，k₁=2a，
g（x）=x³+bx，则g′（x）=3x²+b，k₂=3+b，
由（1，c）为公共切点，可得：2a=3+b  ①
又f（1）=a+2，g（1）=1+b，
∴a+2=1+b②，
由①②式可得：a=4，b=5；
（Ⅱ）a²=4b时，令F（x）=f（x）-g（x）=-x³+ax²-bx+2，
a²=4b⇒b=$\frac{{a}^{2}}{4}$，则F（x）=-x³+ax²-$\frac{{a}^{2}}{4}$x+2，
∴F′（x）=-3x²+2ax-$\frac{{a}^{2}}{4}$，
（1）a=0时，F′（x）=-3x²≤0，F（x）在R递减，
（2）a＞0时，令F′（x）＞0，解得$\frac{a}{6}$＜x＜$\frac{a}{2}$，令F′（x）＜0，解得：x＜$\frac{a}{6}$或x＞$\frac{a}{2}$，
∴F（x）在（-∞，$\frac{a}{6}$），（$\frac{a}{2}$，+∞）递减，在（$\frac{a}{6}$，$\frac{a}{2}$）递增，
（3）a＜0时，令F′（x）＞0，解得$\frac{a}{2}$＜x＜$\frac{a}{6}$，令F′（x）＜0，解得：x＞$\frac{a}{6}$或x＜$\frac{a}{2}$，
∴F（x）在（-∞，$\frac{a}{2}$），（$\frac{a}{6}$，+∞）递减，在（$\frac{a}{2}$，$\frac{a}{6}$）递增．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题．