Question

13．记函数f（x）=$\frac{1}{{\sqrt{x-2}}}$的定义域为集合A，则函数g（x）=$\sqrt{9-{x^2}}$的定义域为集合B，
（1）求A∩B和A∪B
（2）若C={x|p-2＜x＜2p+1}，且C⊆A，求实数p的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先分别求出函数f（x）、g（x）的定义域A、B，再利用交集、并集的定义可求出A∩B和A∪B．
（2）由C⊆A，分类讨论，即可求出实数p的取值范围．

解答 解：（1）∵x-2＞0，解得x＞2，∴函数f（x）=$\frac{1}{{\sqrt{x-2}}}$的定义域为集合A={x|x＞2}．
∵9-x²≥0，解得-3≤x≤3，
∴函数g（x）=$\sqrt{9-{x^2}}$的定义域为集合B={x|-3≤x≤3}．
∴A∩B={x|x＞2}∪{x|-3≤x≤3}=（2，3]，
A∪B={x|x＞2}∪{x|-3≤x≤3}=[-3，+∞）．
（2）∵C={x|p-2＜x＜2p+1}，且C⊆A，
∴C=∅，p-2≥2p+1，
∴p≤-3；
C≠∅，$\left\{\begin{array}{l}{p-2＜2p+1}\\{p-2≥2}\end{array}\right.$，
∴p≥4，
综上所述，p≤-3或p≥4．

点评 本题考查了函数的定义域和集合间的关系，知道对数函数的真数大于0和被开方数大于等于0以及理解集合间的关系是解决此问题的关键．