Question

2．已知公差不为0的等差数列{a_n}中，a₁=7，且a₂+1，a₄+1，a₈+1成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足b_n=$\frac{3}{a_n}$，求适合方程b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1=$\frac{45}{32}$的正整数n的值．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．
（2）利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，由a₂+1，a₄+1，a₈+1，
得（3+3d）²=（3+d）（3+7d），
解得d=3或d=0（舍），
故a_n=a₁+（n-1）d=7+3（n-1）=3n+4．
（2）由（1）知${b_n}=\frac{3}{3n-1}$，${b_n}{b_{n+1}}=\frac{9}{{（{3n-1}）（{3n+2}）}}=3（{\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}}）$，${b_1}{b_2}+{b_2}{b_3}+…+{b_n}{b_{n+1}}=3（{\frac{1}{2}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{8}+…+\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}}）=3（{\frac{1}{2}-\frac{1}{3n+2}}）=\frac{9n}{6n+4}$，
依题有$\frac{9n}{6n+4}=\frac{45}{32}$解得n=10．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．