Question

△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，a²-c²=b²-

8bc

5

，a=3，△ABC的面为6
（1）求角A的正弦值
（2）求边b，c．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）利用余弦定理表示出cosA，把已知等式变形后代入求出cosA的值，即可求出sinA的值；
（2）利用三角形面积公式列出关系式，把sinA与已知面积代入求出bc的值，把a=3，bc=20代入已知等式得到b²+c²=41，联立即可求出b与c的值．

解答： 解：（1）∵△ABC中，a²-c²=b²-

8bc

5

，即b²+c²-a²=

8

5

bc，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

4

5

，
则sinA=

1-cos2A

=

3

5

；
（2）把a=3代入得：b²+c²-9=

8

5

bc，
∵△ABC面积为6，
∴

1

2

bcsinA=6，
把sinA=

3

5

代入得：bc=20①，
把bc=20代入得：b²+c²=41②，
联立①②，解得：b=5，c=4或b=4，c=5．

点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．