Question

17．已知$\overrightarrow a=（{\sqrt{3}sinx，cosx}）$，$\overrightarrow b=（{cosx，cosx}）$，f（x）=2$\overrightarrow a•\overrightarrow b+2m-1（{x，m∈R}）$
（1）当x∈R时，f（x）有最大值6，求m的值；
（2）在（1）的条件下，求f（x）单调递减区间．

Answer 1

分析 （1）根据f（x）=2$\overrightarrow a•\overrightarrow b+2m-1（{x，m∈R}）$，化简可得f（x）的关系式，结合三角函数的性质可得答案．
（2）将内层函数看作整体，放到正弦函数的减区间上，解不等式得函数的单调递减区间；

解答 解：$\overrightarrow a=（{\sqrt{3}sinx，cosx}）$，$\overrightarrow b=（{cosx，cosx}）$，
∴$f（x）=2\overrightarrow a•\overrightarrow b+2m-1=2\sqrt{3}sinxcosx+2{cos^2}x+2m-1$，
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+2m．
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2m．
（1）当x∈R时，f（x）有最大值6，
∴2+2m=6．
可得：m=2．
（2）由（1）可知$f（x）=2sin（{2x+\frac{π}{6}}）+4$，
令$2kπ+\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{3π}{2}，k∈Z$
得：$\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{2π}{3}+kπ$．
∴f（x）的单调递减区间为$[{kπ+\frac{π}{6}，kπ+\frac{2π}{3}}]，k∈Z$．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于基础题．