Question

7．设O是坐标原点，若直线l：y=x+b（b＞0）与圆x²+y²=4交于不同的两点P₁、P₂，且$|{\overrightarrow{{P_1}{P_2}}}|≥|{\overrightarrow{O{P_1}}+\overrightarrow{O{P_2}}}|$，则实数b的最大值是（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 2
• C． $\sqrt{6}$
• D． $2\sqrt{2}$

Answer 1

分析 设P₁P₂中点为D，则OD⊥P₁P₂，确定|$\overrightarrow{OD}$|2≤2，即可求出实数b的最大值．

解答 解：设P₁P₂中点为D，则OD⊥P₁P₂，
∵$|{\overrightarrow{{P_1}{P_2}}}|≥|{\overrightarrow{O{P_1}}+\overrightarrow{O{P_2}}}|$，
∴|$\overrightarrow{{P}_{1}{P}_{2}}$|≥2|$\overrightarrow{OD}$|，
∵|$\overrightarrow{OD}$|2+$\frac{1}{4}$|$\overrightarrow{{P}_{1}{P}_{2}}$|2=4
∴|$\overrightarrow{OD}$|2≤2
∵直线l：y=x+b（b＞0）与圆x²+y²=4交于不同的两点P₁、P₂，
∴|$\overrightarrow{OD}$|2＜4
∴|$\overrightarrow{OD}$|2≤2
∴（$\frac{|b|}{\sqrt{2}}$）2≤2
∵b＞0
∴b≤2．
∴实数b的最大值是2．
故选：B．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．