Question

【题目】设函数 ．
（1）若曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线x﹣2=0垂直，求f（x）的单调区间（其中e为自然对数的底数）；
（2）若对任意x1＞x2＞0，f（x1）﹣f（x2）＜x1﹣x2恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 ，知x＞0，且 ，

因为曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线x=2垂直，所以f'（e）=0，

所以 ，得k=e，

所以 ，

令f'（x）＜0，得0＜x＜e，f（x）在（0，e）上单调递减；

令f'（x）＞0，得x＞e，f（x）在（e，+∞）上单调递增，

综上，f（x）的单调减区间为（0，e），单调增区间为（e，+∞）．

（2）解：因为x1＞x2＞0，f（x1）﹣f（x2）＜x1﹣x2恒成立，

则有f（x1）﹣x1＜f（x2）﹣x2，对x1＞x2＞0恒成立，（7分）

令 ，则g（x）在（0，+∞）上单调递减，

所以 在（0，+∞）上恒成立，

所以 恒成立，

令 ，则 ．

所以k的取值范围是 ．

【解析】（1）求出函数的导数，结合切线方程求出k的值，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为 恒成立，根据函数的单调性求出k的范围即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解利用导数研究函数的单调性(一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减)．