Question

如图，抛物线y=

x

上的点与x轴上的点构成等边三角形OP₁Q₁，O₁P₂Q₂，…Q_n-1P_nQ_n，…其中点P_n在抛物线上，点Q_n的坐为（x_n，0），猜测数列{x_n}的通项公式为

 

．

Answer 1

考点：数列与解析几何的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：求出P₂（

4

3

，

2 3

3

），P₃（3，

3

），|Q₁Q₂|=

4

3

，|Q₂Q₃|=

6

3

，可猜测|Q_n-1Q_n|=

2n

3

，即x_n-x_n-1=

2n

3

，利用叠加法，可得结论．

解答： 解：OP₁的方程为y=

3

x，代入抛物线y=

x

可得P₁（

1

3

，

3

3

），|OQ₁|=

2

3

．
同理可得P₂（

4

3

，

2 3

3

），P₃（3，

3

），|Q₁Q₂|=

4

3

，|Q₂Q₃|=

6

3

，
可猜测|Q_n-1Q_n|=

2n

3

，
∴x_n-x_n-1=

2n

3

，
∴x_n-x₁=

4

3

+

6

3

+…+

2n

3

，
∴x_n=

2

3

（1+2+…+n）=

n(n+1)

3

．
故答案为：x_n=

n(n+1)

3

．

点评：本题是抛物线与数列的综合，根据点在抛物线图象上，以及点之间的关系，找到坐标之间的关系，即数列的递推公式，再由递推公式求通项公式，属于综合题．