Question

已知曲线： （为参数），：（为参数）．

（1）化，的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

（2）若上的点对应的参数为，为上的动点，求中点到直线：（为参数）距离的最小值．

 

Answer 1

（1）：，为圆心是，半径是1的圆．曲线：． 为中心是坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆；（2）

【解析】

试题分析：（1）利用同角三角函数基本关系式中的平方关系消去曲线和曲线参数方程的参数即可得到其普通方程，根据普通方程就可以说明其表示的曲线类型；（2）将代入曲线的参数方程求出P点坐标，用曲线的参数方程，设出Q坐标，求出PQ的中点M的坐标，将曲线的方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式，求出M点到曲线的距离，利用设辅助角的方法，求出距离的最小值.

试题解析：（1）由曲线：（为参数）得，

两式平方相加消去参数，得曲线的普通方程为：．为圆心是，半径是1的圆． 3分

由曲线：（为参数）得，

两式平方相加消去参数，得曲线的普通方程为：． 为中心是坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆． 6分

（2）因为上的点对应的参数为，故，又为上的点，所以，故中点为．

由：（为参数）消去参数知，为直线，则到的距离．.5.u.c.o.m

从而当，时，取得最小值． 12分

考点:圆的参数方程，椭圆的参数方程，直线的参数方程，点到直线的距离公式，三角变换与三角函数性质