Question

8．已知数列{a_n}中，a₁=1，其前n项和为S_n，且S_n=$\frac{1}{2}$a_na_n+1，若数列{$\frac{1}{2{S}_{n}}$}的前n项和T_n=$\frac{99}{100}$，则n=99．

Answer 1

分析 通过S_n=$\frac{1}{2}$a_na_n+1，利用a_n+1=S_n+1-S_n化简可知数列{a_n}的通项公式，进而裂项可知$\frac{1}{2{S}_{n}}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，并项相加、比较即得结论．

解答 解：∵S_n=$\frac{1}{2}$a_na_n+1，
∴a_n+1=S_n+1-S_n=$\frac{1}{2}$a_n+1a_n+2-$\frac{1}{2}$a_na_n+1，
整理得：a_n+2-a_n=2，
又∵a₁=1，a₂=$\frac{2{S}_{1}}{{a}_{1}}$=2，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=n，
∴$\frac{1}{2{S}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
又∵T_n=$\frac{99}{100}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$，
∴n=99，
故答案为：99．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．