Question

如图a，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，F为AD的中点，E在BC上，且EF∥AB.已知AB＝AD＝CE＝2，沿线EF把四边形CDFE折起如图b，使平面CDFE⊥平面ABEF.

(1)求证：AB⊥平面BCE；
(2)求三棱锥C ­ADE体积．

Answer 1

（1）见解析  （2） 

(1)证明：在题图a中，EF∥AB，AB⊥AD，
∴EF⊥AD，在题图b中，CE⊥EF，又平面CDFE⊥平面ABEF，且平面CDFE∩平面ABEF＝EF，
CE⊥平面ABEF，AB?平面ABEF，∴CE⊥AB，又∵AB⊥BE，BE∩CE＝E，∴AB⊥平面BCE；
(2)解：∵平面CDFE⊥平面ABEF，且平面CDFE∩平面ABEF＝EF，AF⊥FE，AF?平面ABEF，∴AF⊥平面CDEF，∴AF为三棱锥A ­CDE的高，且AF＝1，又∵AB＝CE＝2，∴S_△CDE＝×2×2＝2，
∴V_{C ­ADE}＝·S_△CDE·AF＝×2×1＝.