Question

7．当a为何值时，方程$\frac{lgx}{lg2}$+$\frac{lg（a-x）}{lg2}$=log₂（a²-1）有解？只有一个解？

Answer 1

分析 化简可得log₂x+log₂（a-x）=log₂（a²-1），从而可得$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-ax+{a}^{2}-1=0}\\{a＞1}\end{array}\right.$，从而解得．

解答 解：∵$\frac{lgx}{lg2}$+$\frac{lg（a-x）}{lg2}$=log₂（a²-1），
∴log₂x+log₂（a-x）=log₂（a²-1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-ax+{a}^{2}-1=0}\\{a＞1}\end{array}\right.$，
故△=a²-4（a²-1）≥0，
故1＜a≤$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
当a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$时，方程$\frac{lgx}{lg2}$+$\frac{lg（a-x）}{lg2}$=log₂（a²-1）只有一个解．

点评 本题考查了方程的解法及对数的化简与应用．