Question

12．设二次函数f（x）=ax²+bx+c，集合A={x|f（x）=x}．
（1）若A={1，2}，且f（0）=2，求函数f（x）的解析式及f（x）在区间[-2，2]上的最大值和最小值；
（2）若A={1}，且a＜0，解关于x的不等式f（x）＞1．

Answer 1

分析 （1）先求得c=0；若A={1，2}，则说明f（x）-x=0两根为1，2．利用韦达定理求a，b，再利用二次函数图象与性质求解．
（2）若A={1}，得到方程f（x）-x=0有两个相等的解都为1，根据韦达定理求出a，b，c的关系式，进而可得不等式f（x）＞1的解．

解答 解：（1）∵f（0）=2，
∴c=2
∵A={1，2}，
∴ax²+（b-1）x+2=0有两根为1，2．
由韦达定理得，$\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{a}=1×2\\ \frac{1-b}{a}=1+2\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=-2\end{array}\right.$
∴f（x）=x²-2x+2
∵x∈[-2，2]，
∴M=f（-2）=10，m=f（1）=1
（2）若A={1}，方程ax²+（b-1）x+c=0有两相等实根x₁=x₂=1，
根据韦达定理得到：$\left\{\begin{array}{l}\frac{c}{a}=1×1\\ \frac{1-b}{a}=1+1\end{array}\right.$，
∴c=a，b=1-2a，
∴f（x）=ax²+bx+c=ax²+（1-2a）x+a，
解：f（x）=1，即ax²+（1-2a）x+a-1=0得：x=1，或x=$\frac{a-1}{a}$，
∵a＜0，
∴$\frac{a-1}{a}$＞1，
故不等式f（x）＞1的解集为：（1，$\frac{a-1}{a}$）

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．