(Ⅰ)当n=1时,D
1为Rt△OAB
1的内部包括斜边,这时
,
当n=2时,D
2为Rt△OAB
2的内部包括斜边,这时
,
当n=3时,D
3为Rt△OAB
3的内部包括斜边,这时
,……, ---3分
由此可猜想
=3n。 --------------------------------------------------4分
下面用数学归纳法证明:
(1)当n=1时,猜想显然成立。
(2)假设当n=k时,猜想成立,即
,(
) ----5分
如图,平面区域
为Rt
内部包括斜边、平面区域
为
Rt△
内部包括斜边,∵平面区域
比平面区域
多3
个整点, ------- 7分
即当n=k+1时,
,这就是说当n=k+1时,
猜想也成立,
由(1)、(2)知
=3n对一切
都成立。 ---------------------8分
(Ⅱ)∵
=3n, ∴数列
是首项为3,公差为3的等差数列,
∴
.
-------------------------10分
=
=
-------------------------------11分
∵对一切
,
恒成立, ∴
∵
在
上为增函数 ∴
---13分
,满足
的自然数为0,
∴满足题设的自然数m存在,其值为0。 -------------------------14分