精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
在平面直角坐标系上,设不等式组
所表示的平面区域为,记内的整点(即横坐标和纵坐标均为整数的点)的个数为.
(Ⅰ)求并猜想的表达式再用数学归纳法加以证明;
(Ⅱ)设数列的前项和为,数列的前项和,是否存在自然数m?使得对一切恒成立。若存在,求出m的值,若不存在,请说明理由。
(Ⅰ)=3n,(Ⅱ)满足题设的自然数m存在,其值为0
(Ⅰ)当n=1时,D1为Rt△OAB1的内部包括斜边,这时
当n=2时,D2为Rt△OAB2的内部包括斜边,这时
当n=3时,D3为Rt△OAB3的内部包括斜边,这时,……, ---3分
由此可猜想=3n。 --------------------------------------------------4分
下面用数学归纳法证明:
(1)当n=1时,猜想显然成立。
(2)假设当n=k时,猜想成立,即,() ----5分
如图,平面区域为Rt内部包括斜边、平面区域
Rt△内部包括斜边,∵平面区域比平面区域多3
个整点, ------- 7分            
即当n=k+1时,,这就是说当n=k+1时,
猜想也成立,
由(1)、(2)知=3n对一切都成立。 ---------------------8分
(Ⅱ)∵=3n,  ∴数列是首项为3,公差为3的等差数列,
.
  -------------------------10分

== -------------------------------11分
∵对一切恒成立,  ∴
上为增函数 ∴ ---13分
,满足的自然数为0,
∴满足题设的自然数m存在,其值为0。 -------------------------14分
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

(本题满分12分)已知数列满足递推关系.
(1)在时,求数列的通项;(2) 当时,数列满足不等式恒成立,求的取值范围;(3) 在时,证明:.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知{an}是正数组成的数列,a1=1,且点(,an+1)(n∈N*)在函数yx2+1的图象上.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)若列数{bn}满足b1=1,bn+1bn+2an,求证:bn            ·bn+2b2n+1.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

已知等差数列151,149,…,-99,则这个数列的最后100项的和是     .

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

数列{an}中,a1 = 1,当时,其前n项和满足
(1)求Sn的表达式;
(2)设,数列{bn}的前n项和为Tn,求Tn

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知等差数列满足:
(1)是否存在常数,使得请对你的结论作出正确的解释或证明;
(2)当时,求数列的通项公式;
(3)若是数列中的最小项,求首项的取值范围。

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

已知是等差数列,         .

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

等差数列中,,前项和为,等比数列各项均为正数,,且的公比
(1)求
(2)求

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

下表给出一个“直角三角形数阵”:满足每一列成等差数列,从第三行起,每一行的数成等比数列,且每一行的公比相等,记第行第列的数为,则
      

查看答案和解析>>

同步练习册答案