Question

已知命题:“函数的图像关于点成中心对称图形”的充要条件为“函数 是奇函数”.

（1）试判断命题的真假？并说明理由；

（2）设函数，求函数图像对称中心的坐标;

（3）试判断“存在实数a和b,使得函数 是偶函数”是“函数 的图像关于某直线成轴对称图像”成立的什么条件？请说明理由．

Answer 1

解：

（1）命题为真命题；

 充分性：若为奇函数，则

 即

 设为图像上任一点，则关于的对称点为

 

 在图像上，即的图像上，即的图像关于对称

必要性：若的图像关于

设为图像上任一点，则由上知：

令取，则

即

为奇函数

综上命题为真                                

（2）设函数为奇函数，

     则

     ∵为奇函数，则，即

     由命题为真命题，则函数的图像对称中心为      

（3）ⅰ.当时“存在实数和，使得函数是偶函数”是“函数的图像关于直线成轴对称图形”的充要条件；（证明方法参考（1））

     ⅱ. 当不为时“存在实数和，使得函数是偶函数”是“函数的图像关于直线成轴对称图形”的充分不必要条件