Question

20．设过原点的直线1与抛物线y²=4（x-1）交于A，B两点，且以圆恰好过抛物线焦点F，求：
（1）直线1的方程
（2）|AB|的长．

Answer 1

分析 （1）设l的方程为：y=kx，联立y²=4（x-1），得k²x²-4x+4=0，由此利用韦达定理、弦长公式和点到直线的距离公式能求出直线方程．
（2）利用（1）弦长公式，即可得出结论．

解答 解：（1）抛物线y²=4（x-1）的焦点F（2，0），
设l的方程为：y=kx，
联立y²=4（x-1），得k²x²-4x+4=0，
∵直线l交抛物线于A、B两点，
∴△＞0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=$\frac{4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4}{{k}^{2}}$，
y₁+y₂=k（x₁+x₂）=$\frac{4}{k}$，
∴以AB为直径的圆的圆心坐标为M（$\frac{2}{{k}^{2}}$，$\frac{2}{k}$），
∵以AB为直径的圆经过抛物线的焦点F，
∴（1+k²）•（$\frac{16}{{k}^{4}}$-$\frac{16}{{k}^{2}}$）=4[（$\frac{2}{{k}^{2}}$-2）²+（$\frac{2}{k}$）²]，
解得k²=$\frac{1}{2}$，即k=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴直线l的方程为y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$x．
（2）由（1）可得，|AB|²=（1+k²）•（$\frac{16}{{k}^{4}}$-$\frac{16}{{k}^{2}}$）=48．

点评 本题考查直线方程的求法，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，是中档题，