Question

已知方程x²+y²-2x-4y+m=0．
（1）若此方程表示圆，求实数m的取值范围；
（2）若（1）中的圆与直线x+2y-4=0相交于M，N两点，且坐标原点O在以MN为直径的圆的外部，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：圆的一般方程

专题：直线与圆

分析：（1）利用圆的一般方程的性质，即可求实数m的取值范围．
（2）直线方程代入圆的方程，利用韦达定理及向量知识，即可求得实数m的值．

解答： 解：（1）∵程x²+y²-2x-4y+m=0表示圆，
∴△=（-2）²+（-4）²-4m＞0，
解得m＜5，
∴实数m的取值范围是（-∞，5）．
（2）直线x+2y-4=0代入圆的方程，消去x可得：5y²-16y+8+m=0
∵△＞0，∴m＜

24

5

，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则y₁+y₂=

16

5

，y₁y₂=

8+m

5

，
∴x₁x₂=（4-2y₁）（4-2y₂）=16-8（y₁+y₂）+4y₁y₂=

-16+4m

5

，
∵坐标原点O在以MN为径的圆的外部，
∴

OM

•

ON

＞0，
∴x₁x₂+y₁y₂＞0，
∴

-16+4m

5

+

8+m

5

＞0
解得m＞

8

5

．

点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．