数列、
的每一项都是正数,
,
,且
、
、
成等差数列,
、
、
成等比数列,
.
(Ⅰ)求、
的值;
(Ⅱ)求数列、
的通项公式;
(Ⅲ)证明:对一切正整数,有
.
(Ⅰ);(Ⅱ)
,
;(Ⅲ)答案详见解析.
解析试题分析:(Ⅰ)依题意,,
,并结合已知
,
,利用赋值法可求
、
的值;(Ⅱ)由
①,
②,且
,则
,
(
),代入①中,得关于
的递推公式
,故可判断数列
是等差数列,从而可求出
,代入
(
)中,求出
(
),再检验
时,
是否满足,从而求出
;(Ⅲ)和式
相当于数列
的前
项和,先确定其通项公式,根据通项公式的不同形式,选择相应的求和方法,先求得
,不易求和,故可考虑放缩法,将其转化为容易求和的形式,再证明和小于
.
试题解析:(Ⅰ)由,可得
,由
,可得
.
(Ⅱ)因为、
、
成等差数列,所以
…①.因为
、
、
成等比数列,所以
,因为数列
、
的每一项都是正数,所以
…②.于是当
时,
…③.将②、③代入①式,可得
,因此数列
是首项为4,公差为2的等差数列,所以
,于是
.由③式,可得当
时,
.当
时,
,满足该式子,所以对一切正整数
,都有
.
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,所证明的不等式为.
方法一:首先证明(
).
因为,
所以当时,
.
当时,
.
综上所述,对一切正整数,有
方法二:.
当时,
.
当时,
;当
时,
.
综上所述,对一切正整数,有
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设数列{an}的各项都是正数,且对任意n∈N*,都有+…+
=
,记Sn为数列{an}的前n项和.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=3n+(-1)n-1λ·2an(λ为非零常数,n∈N*),问是否存在整数λ,使得对任意n∈N*,都有bn+1>bn.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设各项均为正数的数列的前
项和为
,满足
且
恰好是等比数列
的前三项.
(Ⅰ)求数列、
的通项公式;
(Ⅱ)记数列的前
项和为
,若对任意的
,
恒成立,求实数
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知集合,对于数列
中
.
(Ⅰ)若三项数列满足
,则这样的数列
有多少个?
(Ⅱ)若各项非零数列和新数列
满足首项
,
(
),且末项
,记数列
的前
项和为
,求
的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设是数列
的前
项和,对任意
都有
成立, (其中
、
、
是常数).
(1)当,
,
时,求
;
(2)当,
,
时,
①若,
,求数列
的通项公式;
②设数列中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项,则称该数列是“
数列”.
如果,试问:是否存在数列
为“
数列”,使得对任意
,都有
,且
.若存在,求数列
的首项
的所
有取值构成的集合;若不存在,说明理由.
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