Question

8．若数列{a_n}满足a_n=$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$（n∈N^*，n≥3），a₁=2，a₅=$\frac{1}{3}$，则a₂₀₁₅等于$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 由已知结合数列递推式可得数列{a_n}是以6为周期的周期数列，则a₂₀₁₅可求．

解答 解：由a_n=$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$，且a₁=2，
得${a}_{3}=\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=\frac{{a}_{2}}{2}$，${a}_{4}=\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}=\frac{{a}_{2}}{2{a}_{2}}=\frac{1}{2}$，
${a}_{5}=\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{{a}_{2}}{2}}=\frac{1}{{a}_{2}}$，又a₅=$\frac{1}{3}$，
∴${a}_{2}=\frac{1}{{a}_{5}}=3$，${a}_{6}=\frac{{a}_{5}}{{a}_{4}}=\frac{2}{3}$，${a}_{7}=\frac{{a}_{6}}{{a}_{5}}=2$，…
由上可知，数列{a_n}是以6为周期的周期数列，
∴${a}_{2015}={a}_{335×6+5}={a}_{5}=\frac{1}{3}$．
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了数列周期性的判断，是中档题．