Question

18．设{a_n}是等比数列，下列结论中正确的是（　　）

• A． 若a₁+a₂＞0，则a₂+a₃＞0
• B． 若a₁+a₃＜0，则a₁+a₂＜0
• C． 若0＜a₁＜a₂，则2a₂＜a₁+a₃
• D． 若a₁＜0，则（a₂-a₁）（a₂-a₃）＞0

Answer 1

分析 设等比数列{a_n}的公比为q．
A．由a₁+a₂＞0，可得a₁（1+q）＞0，则当q＜-1时，a₂+a₃=a₁q（1+q），即可判断出正误；
B．由a₁+a₃＜0，可得a₁（1+q²）＜0，由a₁＜0．则a₁+a₂=a₁（1+q），即可判断出正误；
C．由0＜a₁＜a₂，可得0＜a₁＜a₁q，因此a₁＞0，q＞1．作差2a₂-（a₁+a₃）=-a₁（1-q）²，即可判断出正误；
D．由a₁＜0，则（a₂-a₁）（a₂-a₃）=$-{a}_{1}^{2}$q（1-q）²，即可判断出正误．

解答 解：设等比数列{a_n}的公比为q．
A．∵a₁+a₂＞0，∴a₁（1+q）＞0，则当q＜-1时，a₂+a₃=a₁q（1+q）＜0，因此不正确；
B．∵a₁+a₃＜0，∴a₁（1+q²）＜0，∴a₁＜0．则a₁+a₂=a₁（1+q）可能大于等于0或小于0，因此不正确；
C．∵0＜a₁＜a₂，∴0＜a₁＜a₁q，∴a₁＞0，q＞1．则2a₂-（a₁+a₃）=-a₁（1-q）²＜0，因此正确；
D．∵a₁＜0，则（a₂-a₁）（a₂-a₃）=$-{a}_{1}^{2}$q（1-q）²可能相应等于0或大于0，因此不正确．
故选：C．

点评 本题考查了不等式的性质、等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．