Question

3．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x²+y²-8x+15=0．
（1）求直线y=$\frac{1}{3}$x-2被圆截得的弦长；
（2）若直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，求实数k的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出圆C的半径和圆心到直线的距离，利用垂径定理求出弦长；
（2）由条件可知圆心到直线的距离d≤2，列出不等式解出k的范围．

解答 解：（1）将圆C化为标准方程得（x-4）²+y²=1．∴圆C的圆心为（4，0），半径r=1．直线y=$\frac{1}{3}$x-2的一般方程为x-3y-6=0，
∴圆心到直线y=$\frac{1}{3}$x-2的距离d=$\frac{|4-6|}{\sqrt{1+9}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
∴直线y=$\frac{1}{3}$x-2被圆截得的弦长为2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{15}}{5}$．
（2）若直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，
则圆C的圆心到直线y=kx-2的距离小于或等于2．直线y=kx-2的一般方程为kx-y-2=0，
∴$\frac{|4k-2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$≤2．解得0≤k≤$\frac{4}{3}$．
∴k的最大值为$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了直线与圆的位置关系，圆的性质得应用，属于基础题．