Question

19．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，若$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=x$\overrightarrow{AC}$+y$\overrightarrow{A{B}_{1}}$+z$\overrightarrow{A{D}_{1}}$，则x+y+z等于（　　）

• A． 3
• B． 2
• C． $\frac{3}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 用$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{A{A}_{1}}$表示出$\overrightarrow{A{C}_{1}}$，$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{A{B}_{1}}$，$\overrightarrow{A{D}_{1}}$，根据空间向量的基本定理得出x，y，z的值．

解答 解：∵$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A{A}_{1}}$，$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}_{1}}$，
∴$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=x$\overrightarrow{AC}$+y$\overrightarrow{A{B}_{1}}$+z$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（x+y）$\overrightarrow{AB}$+（x+z）$\overrightarrow{AD}$+（y+z）$\overrightarrow{A{A}_{1}}$．
∵$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}_{1}}$，∴$\left\{\begin{array}{l}{x+y=1}\\{x+z=1}\\{y+z=1}\end{array}\right.$，解得x=y=z=$\frac{1}{2}$．
∴x+y+z=$\frac{3}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查了空间向量的加减运算，空间向量的基本定理，属于基础题．