Question

4．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$及实数t满足|$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow{b}$|=3，若$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=1，则t的最大值是$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 把|$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow{b}$|=3两边平方，结合向量的数量积的性质以及基本不等式，计算即可得到t的最大值．

解答 解：由于求t的最大值，即t＞0，
由|$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow{b}$|=3，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=1，
两边平方可得$（\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}）^{2}=9$，
即为${\overrightarrow{a}}^{2}+{t}^{2}{\overrightarrow{b}}^{2}+2t\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=9$，
即有${\overrightarrow{a}}^{2}+{t}^{2}{\overrightarrow{b}}^{2}=9-2t$，
由${\overrightarrow{a}}^{2}+{t}^{2}{\overrightarrow{b}}^{2}≥2t|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$=2t，
当且仅当$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$同向时，取得等号．
得9-2t≥2t，解得t≤$\frac{9}{4}$．
即有t的最大值为$\frac{9}{4}$．
故答案为$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查向量的数量积的性质，考查基本不等式求最值，考查运算化简能力，属于中档题．