Question

15．已知表面积为24π的球外接于三棱锥S-ABC，且∠BAC=$\frac{π}{3}$，BC=4，则三棱锥S-ABC的体积最大值为（　　）

• A． $\frac{8\sqrt{2}}{3}$
• B． $\frac{16\sqrt{2}}{3}$
• C． $\frac{16}{3}$
• D． $\frac{32}{3}$

Answer 1

分析 设球的半径为R，球心为O，如图所示，由球O的表面积是24π，可得4πR²=24π，解得R．设△ABC的外心为O₁，外接圆的半径为r，则O₁B=r=$\frac{1}{2}×\frac{4}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{4}{\sqrt{3}}$可得OO₁=$\sqrt{O{B}^{2}-{O}_{1}{B}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，O₁S=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$．在△ABC中，由余弦定理可得：16=b²+c²-2bccos$\frac{π}{3}$，利用基本不等式的性质可得bc≤16，利用三棱锥P-ABC的体积V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}bcsin\frac{π}{3}×\frac{4\sqrt{6}}{3}$，即可得出．

解答 解：设球的半径为R，球心为O，如图所示
∵球O的表面积是24π，∴4πR²=24π，解得R=$\sqrt{6}$．
设△ABC的外心为O₁，外接圆的半径为r，则O₁B=r=$\frac{1}{2}×\frac{4}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{4}{\sqrt{3}}$，
∴OO₁=$\sqrt{O{B}^{2}-{O}_{1}{B}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴O₁S=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$．
在△ABC中，由余弦定理可得：16=b²+c²-2bccos$\frac{π}{3}$，
化为b²+c²=bc+16≥2bc，∴bc≤16，当且仅当b=c=4时取等号．
∴三棱锥S-ABC的体积V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}bcsin\frac{π}{3}×\frac{4\sqrt{6}}{3}$≤$\frac{2\sqrt{6}}{9}×\frac{\sqrt{3}}{2}×16$=$\frac{16\sqrt{2}}{3}$，
故选：B．

点评 本题考查了三棱锥外接球的性质、勾股定理、三棱锥的体积计算公式、正弦定理余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．