Question

16．已知曲线C上任一点到点P（2，0）的距离比它到直线x=-4的距离小2．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）直线过点P（a，0）（a＞0）且与曲线C有两个交点A，B，求△AOB面积的最小值．

Answer 1

分析 （I）依题意知，动点M到定点F（2，0）的距离等于M到直线x=-2的距离，由抛物线的定义求出曲线C的方程；
（II）设直线l的方程为x=my+a，代入抛物线方程，利用韦达定理，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）∵曲线C上任一点到点P（2，0）的距离比它到直线x=-4的距离小2，
∴曲线C上的每一点到定点F（2，0）的距离与到定直线l：x=-2的距离相等，
∴轨迹为焦点在x轴上，以F（2，0）为焦点的抛物线
标准方程为：y²=8x
（Ⅱ）设直线l的方程为x=my+a，代入抛物线方程，可得：y²-8my-8a=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=8m，y₁y₂=-8a，
∴△AOB的面积=$\frac{1}{2}$•a•|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}$•aπ$\sqrt{64{m}^{2}+32a}$≥2a$\sqrt{2a}$，
即m=0，△AOB的面积最小值为2a$\sqrt{2a}$．

点评 本题主要考查了轨迹方程，考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．