Question

已知函数f（x）=log_a

1-x

1+x

（其中a＞0且a≠1）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性并证明；
（2）解不等式f（x）＞0．

Answer 1

考点：指、对数不等式的解法,函数奇偶性的判断

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）由真数大于0求出函数的定义域，然后直接利用函数奇偶性的定义证明；
（2）对a分类讨论，化对数不等式为分式不等式，求解分式不等式得答案．

解答： 解：（1）由

1-x

1+x

＞0，得-1＜x＜1，
∴函数f（x）的定义域为（-1，1），
又f(-x)=loga

1+x

1-x

=-loga

1-x

1+x

=-f(x)，
∴f（x）为奇函数；
（2）a＞1时，由f(x)=loga

1-x

1+x

＞0，得

1-x

1+x

＞1，得-1＜x＜0；
0＜a＜1时，由f(x)=loga

1-x

1+x

＞0，得0＜

1-x

1+x

＜1，得0＜x＜1．
综上得，a＞1时，x∈（-1，0）；
0＜a＜1时，x∈（0，1）．

点评：本题考查了函数奇偶性的性质，考查了对数不等式与分式不等式的解法，是基础题．