Question

△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，

a+b

c

=

cosA+cosB

cosC

，sin（B-A）=cosC．
（Ⅰ）求A，B，C；
（Ⅱ）若S_△ABC=3+

3

，求a，c．

Answer 1

考点：正弦定理,两角和与差的正弦函数

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）直接利用正弦定理以及两角和与差的三角函数化简函数的表达式，结合已知条件，通过解三角方程即可求A，B，C；
（Ⅱ）通过S_△ABC=3+

3

，以及正弦定理即可求a，c．

解答： 解：（Ⅰ）∵

a+b

c

=

cosA+cosB

cosC

，∴

sinC

cosC

=

sinA+sinB

cosA+cosB

，
∴sinCcosA+sinCcosB=cosCsinA+cosCsinB，
即 sinCcosA-cosCsinA=cosCsinB-sinCcosB，
得 sin（C-A）=sin（B-C）．
∴C-A=B-C，或C-A=π-（B-C）（不成立）．
即 2C=A+B，得C=

π

3

，
∴B+A=

2π

3

，
∵sin(B-A)=cosC=

1

2

，
则B-A=

π

6

，或B-A=

5π

6

（舍去）
∴A=

π

4

，B=

5π

12

，C=

π

3

．

（Ⅱ）∵S△ABC=

1

2

acsinB=

6 + 2

8

ac=3+

3

又∵

a

sinA

=

c

sinC

，
即 

a

2 2

=

c

3 2

，
∴a=2

2

，c=2

3

．

点评：本题考查正弦定理以及三角形的面积的求法，两角和与差的三角函数的应用，考查计算能力．