Question

已知函数f（x）=x²-（a+1）x-4（a+5），g（x）=ax²-x+5，其中a∈R
（1）若函数f（x），g（x）存在相同的零点，求a的值
（2）若存在两个正整数m，n，当x₀∈（m，n）时，有f（x₀）＜0与g（x₀）＜0同时成立，求n的最大值及n取最大值时a的取值范围．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理,数列的求和

专题：函数的性质及应用

分析：（1）解方程x²-（a+1）x-4（a+5）=0，由函数f（x），g（x）存在相同的零点，代入ax²-x+5=0求解即可．
（2）（2）g（x）＜0同时成立，只需

g(-4)＜0 g(a+5)＜0

，解得；-6＜a＜-4，可得得出：f（x₀）＜0，{x₀|-4＜x₀＜a+5}，n的最大值为5-4=1，

解答： 解：（1）解方程x²-（a+1）x-4（a+5）=0得：x=-4，或x=a+5，
由函数f（x），g（x）存在相同的零点，
则-4，或a+5为方程ax²-x+5=0的根，
将-4代入ax²-x+5=0得：16a+9=0，解得：a=-

9

16

，
将a+5代入ax²-x+5=0得：a³+10a²+24a=0，解得：a=-6，或a=-4，或a=0，
综上a的值为-

9

16

，或-6，或-4，或0；
（2）若存在两个正整数m，n，当x₀∈（m，n）时，由f（x₀）＜0与g（x₀）＜0同时成立，
∵f（x）＜0，
∴{x|a+5＜x＜-4}或{x|-4＜x＜a+5}，
∵g（x）＜0同时成立，∴只需

g(-4)＜0 g(a+5)＜0

，解得；-6＜a＜-4，
可得得出：f（x₀）＜0，{x₀|-4＜x₀＜a+5}，
n的最大值为5-4=1，
故n的最大值为1及n取最大值时a的取值范围：-6＜a＜-4．

点评：本题考查了函数的零点，不等式，方程的根，综合性较强，属于中档题．