Question

已知函数f（x）=2cos（x+

π

3

）[sin（x+

π

3

）-

3

cos（x+

π

3

）]．
（1）求f（x）的值域和最小正周期；
（2）若对任意x∈[0，

π

3

]，m[f（x）+

3

]+2=0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质,不等式的解法及应用

分析：（1）化简可得f（x）=2sin（2x+

π

3

）-

3

，易得值域和最小正周期；
（2）由x∈[0，

π

3

]可得sin（2x+

π

3

）∈[0，1]，进而可得f（x）+

3

=2sin（2x+

π

3

）∈[0，2]，由题意可得m的不等式组，解之可得．

解答： 解：（1）f（x）=2cos（x+

π

3

）[sin（x+

π

3

）-

3

cos（x+

π

3

）]
=2cos（x+

π

3

）sin（x+

π

3

）-2cos（x+

π

3

）×

3

cos（x+

π

3

）]
=sin（2x+

2π

3

）-2

3

cos²（x+

π

3

）
=sin（2x+

2π

3

）-

3

cos（2x+

2π

3

）-

3

=2sin（2x+

π

3

）-

3

，
∵sin（2x+

π

3

）∈[-1，1]，
∴f（x）=2sin（2x+

π

3

）-

3

∈[-2-

3

，2-

3

]，
∴最小正周期T=

2π

2

=π．
（2）当x∈[0，

π

3

]时，2x+

π

3

∈[

π

3

，π]，
∴sin（2x+

π

3

）∈[0，1]
∴f（x）+

3

=2sin（2x+

π

3

）∈[0，2]．
由m[f（x）+

3

]+2=0知m≠0，
∴f（x）+

3

=-

2

m

，即0≤-

2

m

≤2，
解得m≤-1．即实数m的取值范围是[-∞，-1]．

点评：本题考查三角函数的化简，涉及三角函数的周期性和值域，属于基本知识的考查．