Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），其部分图象如图所示，且直线y=A与曲线y=f（x）（-

π

24

≤x≤

11π

24

）所围成的封闭图形的面积为π，则f（

π

8

）+f（

2π

8

）+f（

3π

8

）+…+f（

2013π

8

）（即

2013

i=1

f（

i•π

8

））的值为（　　）

• A、1
• B、-1
• C、0
• D、2

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,定积分在求面积中的应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，再根据直线y=A与曲线y=f（x）（-

π

24

≤x≤

11π

24

）所围成的封闭图形的面积为π求出A，可得函数的解析式．再利用函数的周期性求出所给式子的值．

解答： 解：由函数的图象可得

1

2

•

2π

ω

=

5π

24

+

π

24

，求得ω=4，可得函数的周期为

π

2

．
再根据五点法作图可得4×（-

π

24

）+φ=

π

2

，求得φ=

2π

3

．
区间[-

π

24

，

11π

24

]的长度恰好为函数的一个周期，直线y=A与曲线y=f（x）（-

π

24

≤x≤

11π

24

）所围成的封闭图形的面积为

1

2

（2A×

π

2

）=π，
∴A=2，函数f（x）=2sin（4x+

2π

3

）．
在一个周期[1，

π

2

]上，f（

π

8

）=2cos

2π

3

=-1，f（

2π

8

）=-2sin

2π

3

=-

3

，+f（

3π

8

）=-2cos

2π

3

=1，f（

π

2

）=

3

，
∴f（

π

8

）+f（

2π

8

）+f（

3π

8

）+f（

π

2

）=0．
∴f（

π

8

）+f（

2π

8

）+f（

3π

8

）+…+f（

2013π

8

）=503[f（

π

8

）+f（

2π

8

）+f（

3π

8

）+f（

π

2

）]+f（

π

8

）=0+1=1，
故选：B．

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，利用函数的周期性求函数的值，属于基础题．