Question

3．某环境保护部门对某处的环境状况用“污染指数”来监测，据监测，该处的“污染指数”与附近污染源的强度成正比，且与距离成反比，比例系数分别为常数k₁、k₂（k₁＞0，k₂＞0），现已知相距36km的A、B两家化工厂（污染源）的污染强度分别为1和25，它们连线段上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的“污染指数”之和，设AC=x（km）．
（1）试将y表示为x的函数，并指出定义域；
（2）确定A、B连线段上何处的“污染指数”最小，并求出这个最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意，分别求A，B两家化工厂对C处的污染指数，再求和即可得y=k₁k₂（$\frac{1}{x}$+$\frac{25}{36-x}$）；再求定义域即可；
（2）令f（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{25}{36-x}$，再求导并化简得f′（x）=$\frac{24（x+9）（x-6）}{{x}^{2}（36-x）^{2}}$；从而判断函数的单调性及最小值，从而得到y=k₁k₂（$\frac{1}{x}$+$\frac{25}{36-x}$）的最小值及最小值点．

解答 解：（1）由题意，
A家化工厂对C处的污染指数为k₁$\frac{{k}_{2}}{x}$，
B家化工厂对C处的污染指数为25k₁$\frac{{k}_{2}}{36-x}$；
故y=k₁$\frac{{k}_{2}}{x}$+25k₁$\frac{{k}_{2}}{36-x}$=k₁k₂（$\frac{1}{x}$+$\frac{25}{36-x}$）；其定义域为（0，36）；
（2）令f（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{25}{36-x}$，
则f′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{25}{（36-x）^{2}}$
=$\frac{24{x}^{2}+72x-3{6}^{2}}{{x}^{2}（36-x）^{2}}$
=$\frac{24（x+9）（x-6）}{{x}^{2}（36-x）^{2}}$；
故f（x）在（0，6）上是减函数，在（6，36）上是增函数，
故f（x）_min=$\frac{1}{6}$+$\frac{25}{36-6}$=1；
故当x=6时，y有最小值k₁k₂．

点评 本题考查了函数在实际问题中的应用，同时考查了导数的综合应用，属于中档题．