Question

4．设M{a，b，c}=$\left\{\begin{array}{l}{a，b，c的中位数，（a-b）（b-c）（c-a）≠0}\\{a，b，c的众数，（a-b）（b-c）（c-a）=0}\end{array}\right.$，若f（x）=M{2^x，x²，4-7.5x}（x＞0），则f（x）的最小值是（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 1
• D． $\frac{5}{4}$

Answer 1

分析 对分段函数分类讨论，当（2^x-x²）（x²-4+7.5x}（4-7.5x-2^x）=0时，f（x）=2^x，x²，4-7.5x众数，分别求解，得出f（x）的最小值是；
做出函数y=2^x，y=x²，y=4-7.5x的图象，利用数学结合得出当（2^x-x²）（x²-4+7.5x}（4-7.5x-2^x）≠0时，f（x）=2^x，x²，4-7.5x的中位数范围．

解答 解：由题意，f（x）=M{2^x，x²，4-7.5x}，
当（2^x-x²）（x²-4+7.5x}（4-7.5x-2^x）≠0时，
f（x）=2^x，x²，4-7.5x的中位数，
当（2^x-x²）（x²-4+7.5x}（4-7.5x-2^x）=0时，
f（x）=2^x，x²，4-7.5x众数，
令（2^x-x²）（x²-4+7.5x）（4-7.5x-2^x）=0，
若2^x=x²，则x=2或4，
若x²=4-7.5x，则x=-8（舍去）或$\frac{1}{2}$，
若2^x=4-7.5x，
令g（x）=2^x-4+7.5x，
∵g（0）=1-4+0=-3＜0，g（$\frac{1}{2}$）=$\sqrt{2}$-4+3.75＞0，
∴x∈（0，$\frac{1}{2}$）；
∴（2^x-x²）（x²-4+7.5x}（4-7.5x-2^x）=0时，f（x）=$\frac{1}{4}$
当（2^x-x²）（x²-4+7.5x}（4-7.5x-2^x）≠0时，f（x）=2^x，x²，4-7.5x的中位数，
由右侧图象可知：中位数都大于$\frac{1}{4}$，
故选A．

点评 本题考查了新定义函数和分段函数的处理．难点是利用数学结合解决实际问题．