Question

17．已知函数f（x）=-xlnx+ax在（0，e）上是增函数，函数$g（x）=|{{e^x}-a}|+\frac{a^2}{2}$，当x∈[0，ln3]时，函数g（x）的最大值M与最小值m的差为$\frac{3}{2}$，则a=（　　）

• A． $\frac{5}{2}$
• B． 2
• C． $\frac{3}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 根据函数f（x）=-xlnx+ax在（0，e）上是增函数，可得f'（x）=-lnx+a-1≥0在（0，e）恒成立，从而f'（x）=-lnx+a+1的最小值大于等于0即可，进而可得参数的范围；利用$g（x）=|{{e^x}-a}|+\frac{a^2}{2}$，当x∈[0，ln3]时，函数g（x）的最大值M与最小值m的差为$\frac{3}{2}$，可求参数的值，从而可得结论．

解答 解：因为函数f（x）=-xlnx+ax在（0，e）上是增函数，
所以f'（x）=a-1-lnx≥0在（0，e）上恒成立，即a-2≥0，即a≥2；
因为$g（x）=|{{e^x}-1}|+\frac{a^2}{2}=\left\{{\begin{array}{l}{a-{e^x}+\frac{a^2}{2}，0≤x≤lna}\\{{e^x}-1+\frac{a^2}{2}，x≥lna}\end{array}}\right.$，
若lna≥ln3，即a≥3时，g（x）在[0，ln3]单调递减，则M-m=g（0）-g（ln3）=2（舍），
当lna＜ln3，即2≤a＜3时，函数g（x）在[0，lna]上递减，在[lna，ln3]上递增，且g（0）-g（ln3）=2a-4≥0，所以$M-m=g（0）-g（lna）=\frac{3}{2}$，
即$（a-1+\frac{a^2}{2}）-\frac{a^2}{2}=a-1=\frac{3}{2}$，
解得$a=\frac{5}{2}$．
故选：A．

点评 本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数最值的确定，其中确定函数g（x）的最大值M与最小值m是关键．