Question

17．已知曲线C：y=sinx+$\sqrt{3}$cosx在点P（x₀，y₀）（-$\frac{π}{3}$＜x₀＜0）处的切线斜率为$\sqrt{3}$，则曲线C在点P处的切线方程为$\sqrt{3}$x-y-2+$\frac{\sqrt{3}π}{6}$=0．

Answer 1

分析 求得函数导数，可得切线的斜率，由两角和的余弦公式，可得切点坐标，再由点斜式方程，可得切线方程．

解答 解：y=sinx+$\sqrt{3}$cosx的导数为y′=cosx-$\sqrt{3}$sinx，
可得在点P（x₀，y₀）（-$\frac{π}{3}$＜x₀＜0）处的切线斜率为cosx₀-$\sqrt{3}$sinx₀
=2cos（x₀+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，
由-$\frac{π}{3}$＜x₀＜0，
解得x₀=-$\frac{π}{6}$，
则P（-$\frac{π}{6}$，-2），
即有曲线C在点P处的切线方程为 y+2=$\sqrt{3}$（x+$\frac{π}{6}$），
即为$\sqrt{3}$x-y-2+$\frac{\sqrt{3}π}{6}$=0．
故答案为：$\sqrt{3}$x-y-2+$\frac{\sqrt{3}π}{6}$=0．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，考查三角函数的求值，考查运算能力，属于中档题．