Question

5．若对于?x＞0，$\frac{x}{（x+1）^{2}}$≤a恒成立，则a的取值范围是[$\frac{1}{4}$，+∞）．

Answer 1

分析 ?x＞0，$\frac{x}{（x+1）^{2}}$≤a恒成立，即函数f（x）=$\frac{x}{（x+1）^{2}}$的最大值小于等于a，利用导数当研究函数的最值，可得答案．

解答 解：∵对于?x＞0，$\frac{x}{（x+1）^{2}}$≤a恒成立，
故函数f（x）=$\frac{x}{（x+1）^{2}}$的最大值小于等于a，
∵f′（x）=$\frac{1-{x}^{2}}{{（x+1）}^{4}}$，
故当x＜-1时，f′（x）＜0，函数f（x）为减函数，且恒为负，
当-1＜x≤1时，f′（x）≥0，函数f（x）为增函数，且恒为正，
当x＞1时，f′（x）＜0，函数f（x）为减函数，且恒为正，
即x=1时，函数有最大值$\frac{1}{4}$
故a的取值范围是：[$\frac{1}{4}$，+∞），
故答案为：[$\frac{1}{4}$，+∞）．

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了全称命题，函数恒成立，难度中档．