Question

20．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左焦点为F，右顶点为A，动点M为右准线上一点（异于右准线与x轴的交点），设线段FM交椭圆C于点P，已知椭圆C的离心率为$\frac{2}{3}$，点M的横坐标为$\frac{9}{2}$．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若∠FPA为直角，求P点坐标；
（3）设直线PA的斜率为k₁，直线MA的斜率为k₂，求k₁•k₂的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{3}$，准线方程x=$\frac{{a}^{2}}{c}$=$\frac{9}{2}$，即可求得a和c的值，则b²=a²-c²=5，即可求得椭圆C的标准方程；
（2）由∠FPA为直角，以AF为直径的圆的与椭圆相交于P点，设P（x，±$\sqrt{5（1-\frac{{x}^{2}}{9}）}$），求得圆心为O（$\frac{1}{2}$，0）及半径为$\frac{5}{2}$，根据点到直线的距离公式，即可求得a的值，代入求得y的值，即可求得P点坐标；
（3）设点P（x₁，y₁）（-2＜x₁＜3），点M$M（{\frac{9}{2}，{y_2}}）$，由点F、P、M三点共线，求得点M的坐标，$M（{\frac{9}{2}，\frac{{13{y_1}}}{{2（{{x_1}+2}）}}}）$．${k_1}=\frac{y_1}{{{x_1}-3}}，{k_2}=\frac{{13{y_1}}}{{3（{{x_1}+2}）}}$，则${k_1}•{k_2}=\frac{{-13•\frac{5}{9}（{x_1^2-9}）}}{{3（{{x_1}+2}）（{{x_1}-3}）}}=-\frac{65}{27}•\frac{{{x_1}+3}}{{{x_1}+2}}=-\frac{65}{27}（{1+\frac{1}{{{x_1}+2}}}）$．由此可导出k₁•k₂的取值范围．

解答 解：（1）由题意可知：离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{3}$，
准线方程x=$\frac{{a}^{2}}{c}$=$\frac{9}{2}$，
解得：a=3，c=2，
由b²=a²-c²=5，
∴求椭圆C的标准方程为$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$；…（4分）
（2）由∠FPA为直角，
∴以AF为直径的圆的与椭圆相交于P点，设P（x，±$\sqrt{5（1-\frac{{x}^{2}}{9}）}$），
∴圆心为O（$\frac{1}{2}$，0），半径为$\frac{5}{2}$，
∴丨PO丨=$\frac{5}{2}$，即$\sqrt{（x-\frac{1}{2}）^{2}+5（1-\frac{{x}^{2}}{9}）}$=$\frac{5}{2}$，整理得：4x²-9x-9=0，
解得：x=-$\frac{3}{4}$或x=3（舍去），
∴y=±$\sqrt{5（1-\frac{{x}^{2}}{9}）}$=±$\frac{5\sqrt{3}}{4}$，
∴P点坐标为：$（{-\frac{3}{4}，±\frac{{5\sqrt{3}}}{4}}）$…（8分）
（3）设点P（x₁，y₁）（-2＜x₁＜3），点$M（{\frac{9}{2}，{y_2}}）$，
∵点F，P，M共线，x₁≠-2，
∴$\frac{y_1}{{{x_1}+2}}=\frac{y_2}{{\frac{13}{2}}}$，即${y_2}=\frac{{13{y_1}}}{{2（{{x_1}+2}）}}$，
∴$M（{\frac{9}{2}，\frac{{13{y_1}}}{{2（{{x_1}+2}）}}}）$，…（10分）
∵${k_1}=\frac{y_1}{{{x_1}-3}}，{k_2}=\frac{{13{y_1}}}{{3（{{x_1}+2}）}}$，
∴${k_1}•{k_2}=\frac{y_1}{{{x_1}-3}}•\frac{{13{y_1}}}{{3（{{x_1}+2}）}}=\frac{13y_1^2}{{3（{{x_1}+2}）（{{x_1}-3}）}}$，…（12分）
又∵点P在椭圆C上，
∴$y_1^2=-\frac{5}{9}（{x_1^2-9}）$，
∴${k_1}•{k_2}=\frac{{-13•\frac{5}{9}（{x_1^2-9}）}}{{3（{{x_1}+2}）（{{x_1}-3}）}}=-\frac{65}{27}•\frac{{{x_1}+3}}{{{x_1}+2}}=-\frac{65}{27}（{1+\frac{1}{{{x_1}+2}}}）$，…（14分）
∵-2＜x₁＜3，
∴${k_1}•{k_2}＜-\frac{26}{9}$，
故k₁•k₂的取值范围为$（{-∞，-\frac{26}{9}}）$…（16分）

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线的圆锥曲线的位置关系，考查圆的方程及点到直线的距离公式，直线的斜率公式，考查计算能力，解题时要认真审题，属于中档题．