Question

12．已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₁=2，a_na_n+1=2（S_n+1）（n∈N^*）．
（1）求a₂₀₁₇的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）若数列{b_n}满足b₁=1，b_n=$\frac{1}{{{a_n}\sqrt{{a_{n-1}}}+{a_{n-1}}\sqrt{a_n}}}$（n≥2，n∈N^*），求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由a_na_n+1=2（S_n+1），可得n≥2时，a_n-1a_n=2（S_n-1+1），相减可得：a_n+1-a_n-1=2，利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）由a_na_n+1=2（S_n+1）（n∈N^*），n=1时，a₁a₂=2（a₁+1），即2a₂=2×3，解得a₂，由a_n+1-a_n-1=2，可得数列{a_n}的奇数项与偶数项都成等差数列，公差为2．即可得出．
（3）数列{b_n}满足b₁=1，b_n=$\frac{1}{{{a_n}\sqrt{{a_{n-1}}}+{a_{n-1}}\sqrt{a_n}}}$=$\frac{1}{（n+1）\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}$=$\frac{（n+1）\sqrt{n}-n\sqrt{n+1}}{n（n+1）}$=$\frac{\sqrt{n}}{n}$-$\frac{\sqrt{n+1}}{n+1}$，利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（1）∵a_na_n+1=2（S_n+1），∴n≥2时，a_n-1a_n=2（S_n-1+1），相减可得：a_na_n+1-a_n-1a_n=2a_n，a_n≠0．
∴a_n+1-a_n-1=2，又a₁=2，
∴a₂₀₁₇=2+（1009-1）×2=2018．
（2）由a_na_n+1=2（S_n+1）（n∈N^*），n=1时，a₁a₂=2（a₁+1），即2a₂=2×3，解得a₂=3，
由a_n+1-a_n-1=2，可得数列{a_n}的奇数项与偶数项都成等差数列，公差为2．
∴a_2k-1=2+2（k-1）=2k，a_2k=3+2（k-1）=2k+1．
∴a_n=n+1．
（3）数列{b_n}满足b₁=1，b_n=$\frac{1}{{{a_n}\sqrt{{a_{n-1}}}+{a_{n-1}}\sqrt{a_n}}}$=$\frac{1}{（n+1）\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}$=$\frac{（n+1）\sqrt{n}-n\sqrt{n+1}}{n（n+1）}$=$\frac{\sqrt{n}}{n}$-$\frac{\sqrt{n+1}}{n+1}$，
∴{b_n}的前n项和T_n=$（1-\frac{\sqrt{2}}{2}）$+$（\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{3}）$+…+$（\frac{\sqrt{n}}{n}-\frac{\sqrt{n+1}}{n+1}）$=1-$\frac{\sqrt{n+1}}{n+1}$．

点评 本题考查了“裂项求和”方法、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．