Question

17．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F和椭圆E：$\frac{x^2}{8}$+$\frac{y^2}{4}$=1的右焦点重合，
直线l过点F交抛物线于A，B两点．
（1）若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的长；
（2）若直线l交y轴于点M，且$\overrightarrow{MA}$=m$\overrightarrow{AF}$，$\overrightarrow{MB}$=n$\overrightarrow{BF}$，试求m+n的值．

Answer 1

分析 （1）根据椭圆和抛物线的定义即可求出p的值，求出直线l的方程，联立方程组，得到x₁+x₂=$\frac{20}{3}$，根据焦点弦定理即可求出|AB|，
（Ⅱ）设直线l：y=k（x-2），l与y轴交于M（0，-k），设直线l交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），与抛物线联立，消元利用韦达定理，结合$\overrightarrow{MA}$=m$\overrightarrow{AF}$，$\overrightarrow{MB}$=n$\overrightarrow{BF}$，运用向量的坐标表示，可得m，n，由此可得结论．

解答 解：（1）据已知得椭圆E的右焦点为F（2，0），
∴$\frac{p}{2}$=2，
故抛物线C的方程为y²=8x，
∵直线l的倾斜角为60°，
∴y=$\sqrt{3}$x-2$\sqrt{3}$，
于是得到（$\sqrt{3}$x-2$\sqrt{3}$）²=8x，即3x²-20x+12=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=$\frac{20}{3}$，
∴|AB|=p+x₁+x₂=$\frac{32}{3}$，
（2）根据题意知斜率必存在，于是设方程为y=k（x-2），点M坐标为M（0，-k），
∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）为l与抛物线C的交点，得到k²x²-4（k²+2）x+4k²=0，
∴x₁+x₂=4+$\frac{8}{{k}^{2}}$，x₁x₂=4，
∵$\overrightarrow{MA}$=m$\overrightarrow{AF}$，$\overrightarrow{MB}$=n$\overrightarrow{BF}$，
∴（x₁，y₁+k）=m（2-x₁，-y₁），（x₂，y₂+k）=n（2-x₂，-y₂），
∴m=$\frac{{x}_{1}}{2-{x}_{1}}$，n=$\frac{{x}_{2}}{2-{x}_{2}}$，
∴m+n=$\frac{{x}_{1}}{2-{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{2}}{2-{x}_{2}}$=$\frac{2（{x}_{1}+{x}_{2}-{x}_{1}{x}_{2}）}{4-2（{x}_{1}+{x}_{2}）+{x}_{1}{x}_{2}}$=-1．

点评 本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，联立方程，利用韦达定理是关键，属于中档题．