Question

10．已知函数f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且在公共定义域{x|x∈R且x≠±1}上满足f（x）+g（x）=$\frac{1}{x-1}$．
（1）求f（x）和g（x）的解析式；
（2）设h（x）=f（x）-g（x），求h（$\frac{1}{x}$）；
（3）求值：h（2）+h（3）+h（4）+…+h（2016）+h（$\frac{1}{2}$）+h（$\frac{1}{3}$）+h（$\frac{1}{4}$）+…+h（$\frac{1}{2016}$）．

Answer 1

分析 （1）由f（x）+g（x）=$\frac{1}{x-1}$，得-f（x）+g（x）=-$\frac{1}{x+1}$，联立方程组能求出f（x），g（x）．
（2）由h（x）=f（x）-g（x）═$\frac{x}{{x}^{2}-1}-\frac{1}{{x}^{2}-1}$=$\frac{1}{x+1}$，能求出h（$\frac{1}{x}$）．
（3）由h（x）+h（$\frac{1}{x}$）=$\frac{1}{x+1}+\frac{1}{\frac{1}{x}+1}$=1，能求出h（2）+h（3）+h（4）+…+h（2016）+h（$\frac{1}{2}$）+h（$\frac{1}{3}$）+h（$\frac{1}{4}$）+…+h（$\frac{1}{2016}$）的值．

解答 解：（1）由题意，f（x）+g（x）=$\frac{1}{x-1}$，①
f（-x）+g（-x）=$\frac{1}{-x-1}$，即-f（x）+g（x）=-$\frac{1}{x+1}$，②
由①②联立解得f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}-1}$，g（x）=$\frac{1}{{x}^{2}-1}$．…（6分）
（2）h（x）=f（x）-g（x）═$\frac{x}{{x}^{2}-1}-\frac{1}{{x}^{2}-1}$=$\frac{1}{x+1}$，
∴h（$\frac{1}{x}$）=$\frac{1}{\frac{1}{x}+1}$=$\frac{x}{x+1}$．…（8分）
（3）∵h（x）+h（$\frac{1}{x}$）=$\frac{1}{x+1}+\frac{1}{\frac{1}{x}+1}$=1，…（10分）
∴h（2）+h（3）+h（4）+…+h（2016）+h（$\frac{1}{2}$）+h（$\frac{1}{3}$）+h（$\frac{1}{4}$）+…+h（$\frac{1}{2016}$）
=[h（2）+h（$\frac{1}{2}$）]+[h（3）+h（$\frac{1}{3}$）]+…+h（2016）+h（$\frac{1}{2016}$）]
=2015．…（12分）

点评 本题考查函数解析式的求法，考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．