Question

设A，B分别是直线y=x和y=-x上的两个动点，并且||=,动点P满足=+.记动点P的轨迹为C.

（1）求轨迹C的方程;

（2）M，N是曲线C上的任意两点，且直线MN不与y轴垂直，线段MN的中垂线l交y轴于点E（0，y₀），求y₀的取值范围.

Answer 1

解：（1）设P（x,y）,因为A、B分别为直线y=x和y=-x上的点，故可设A（x₁ , x₁）,B(x₂ ,x₂).∵=+,∴

∴又，?

∴（x₁-x₂）²+(x₁+x₂)=20.?

∴.即曲线C的方程为.?

(2)设直线MN为y=kx+b(k≠0),则消去y，得（25k²+16）x²+50kbx+25(b²-16)=0.(*)由于M、N是曲线C上的任意两点，?

∴Δ=（50kb）²-4×25(25k ²+16)(b ²-16)＞0.即25k ²b ²-(25k ²+16)(b ²-16)＞0.∴b ²＜25k²+16.①由（*）式可得,则直线l为.由于E(0,y₀)在l上 ,∴.②由②得.代入①得.∴-.即y₀的取值范围是（，）.