【题目】已知抛物线C:x2=2y的焦点为F,过抛物线上一点M作抛物线C的切线l,l交y轴于点N.
(1)判断△MFN的形状;
(2)若A,B两点在抛物线C上,点D(1,1)满足 +
=
,若抛物线C上存在异于A,B的点E,使得经过A,B,E三点的圆与抛物线在点E处的有相同的切线,求点E的坐标.
【答案】
(1)
解:由题意可知:抛物线C:x2=2y的焦点F(0, ),
设M(x1, ),由y=
,y′=x,
则切线l的方程y﹣ =x1(x﹣x1),则y=x1x﹣
,
∴N(0, ),丨MF丨=
+
,丨NF丨=
+
,
丨MF丨=丨NF丨,
(2)
解:设A(x2, ),由
+
=
,
∴D(1,1)是AB的中点,B(2﹣x2,2﹣ ),
由B在抛物线C上,则(2﹣x2)2=2(2﹣ ),
解得:x2=0,x2=2,
∴A,B两点的坐标为(0,0),(2,2),
设E(x0, ),(x0≠0,x0≠2),
AB的中垂线方程y=﹣x+2,①AE的中垂线方程y=﹣ x+1+
,②
由
由①②解得:圆心M(﹣ ,
),
由kMEx0=﹣1,整理得:x02﹣x0﹣2=0,
解得:x0=﹣1或x0=2,由x0≠0,x0≠2,
∴x0=﹣1,
∴E点坐标为(﹣1, ).
【解析】(1)利用导数求得切线方程,当x=0,求得N点坐标,根据抛物线的焦半径公式,即可求得丨MF丨=丨NF丨,则△MFN为等腰三角形;(2)根据向量的坐标运算,求得B点坐标,分别求得AE及AB的中垂线方程,即可求得△ABE外接圆的圆心,由kMEx0=﹣1,即可求得点E的坐标.
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【题目】已知p:关于x的不等式|x﹣2|+|x+2|>m的解集是R; q:关于x的不等式x2+mx+4>0的解集是R.则p成立是q成立的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.即不充分也不必要条件
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【题目】某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生,按其数学成绩(均为整数)分成六组,
,…,
后得到如下部分频率分布直方图,观察图中的信息,回答下列问题:
(1)补全频率分布直方图;
(2)估计本次考试的数学平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(3)用分层抽样的方法在分数段为的学生成绩中抽取一个容量为6的样本,再从这6个样本中任取2人成绩,求至多有1人成绩在分数段
内的概率.
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【题目】已知公比不为1的等比数列{an}的前3项积为27,且2a2为3a1和a3的等差中项.
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)若数列{bn}满足bn=bn﹣1log3an+1(n≥2,n∈N*),且b1=1,求数列{ }的前n项和Sn .
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【题目】甲乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中任想一个数字记为,再由乙猜甲刚才想的数字,把乙猜的数字记为
,且
、
.若
,则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,则二人“心有灵犀”的概率为__________.
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【题目】为了节约用水,学校改革澡堂收费制度,实行计时收费,洗澡时间在30分钟以内(含30分钟),每分钟收费0.1元,30分钟以上超出的部分每分钟0.2元,请设计程序,使用基本语句完成澡堂计费工作,要求输入时间,输出费用.
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【题目】已知函数f(x)=|ax﹣1|
(1)若f(x)≤2的解集为[﹣3,1],求实数a的值;
(2)若a=1,若存在x∈R,使得不等式f(2x+1)﹣f(x﹣1)≤3﹣2m成立,求实数m的取值范围.
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【题目】已知常数数列
的前
项和为
,
且
(1)求数列的通项公式;
(2)若且数列
是单调递增数列,求实数
的取值范围;
(3)若数列
满足:
对于任意给定的正整数
,是否存在
使
?若存在,求
的值(只要写出一组即可);若不存在,说明理由.
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