Question

15．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b+c=8，1+$\frac{tanA}{tanB}$=$\frac{2c}{b}$，则△ABC面积的最大值为（　　）

• A． 4
• B． 4$\sqrt{3}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 1+$\frac{tanA}{tanB}$=$\frac{2c}{b}$，利用同角三角函数基本关系式、两角和差公式、正弦定理可得$cosA=\frac{1}{2}$，可得$sinA=\sqrt{1-co{s}^{2}A}$．利用基本不等式的性质可得：b+c=8≥2$\sqrt{bc}$，利用S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$即可得出．

解答 解：∵1+$\frac{tanA}{tanB}$=$\frac{2c}{b}$，∴$\frac{sinBcosA+cosBsinA}{sinBcosA}$=$\frac{sinC}{sinBcosA}$=$\frac{2sinC}{sinB}$，化为$cosA=\frac{1}{2}$，∴$sinA=\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵b+c=8≥2$\sqrt{bc}$，化为bc≤16，当且仅当b=c=4时取等号．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{\sqrt{3}}{4}bc$≤4$\sqrt{3}$．
故选：B．

点评 本题考查了正弦定理、两角和差公式、同角三角函数基本关系式、基本不等式的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．