Question

16．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的两个焦点分别为F₁，F₂，若椭圆上不存在点P，使得∠F₁PF₂是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（　　）

• A． $（0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$
• B． $[\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1）$
• C． $（0，\frac{1}{2}）$
• D． $[\frac{1}{2}，1）$

Answer 1

分析 点P取端轴的一个端点时，使得∠F₁PF₂是最大角．已知椭圆上不存在点P，使得∠F₁PF₂是钝角，可得b≥c，利用离心率计算公式即可得出．

解答 解：∵点P取端轴的一个端点时，使得∠F₁PF₂是最大角．
已知椭圆上不存在点P，使得∠F₁PF₂是钝角，∴b≥c，
可得a²-c²≥c²，可得：a$≥\sqrt{2}c$．
∴$0＜e≤\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．