Question

14．已知数列{a_n}满足a_n=（2n+1）（$\frac{1}{3}$）ⁿ，求它的前n项和S_n．

Answer 1

分析 根据错位相减法即可求出数列的前n项和．

解答 解：S_n=3×（$\frac{1}{3}$）¹+5×（$\frac{1}{3}$）²+7×（$\frac{1}{3}$）³+…+（2n+1）（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
$\frac{1}{3}$S_n=3×（$\frac{1}{3}$）²+5×（$\frac{1}{3}$）³+7×（$\frac{1}{3}$）⁴+…+（2n-1）（$\frac{1}{3}$）ⁿ+（2n+1）（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹，
两式相减得$\frac{2}{3}$S_n=$\frac{1}{3}$+2×（$\frac{1}{3}$）¹+2×（$\frac{1}{3}$）²+2×（$\frac{1}{3}$）³+7×（$\frac{1}{3}$）⁴+…+2×（$\frac{1}{3}$）ⁿ-（2n+1）（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹，
=$\frac{1}{3}$+2×$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$-（2n+1）（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹=$\frac{4}{3}$-（2n+4）（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹，
∴S_n=2-（n+2）（$\frac{1}{3}$）ⁿ．

点评 本题考查了错位相减法求数列的前n项和，属于中档题．