Question

11．已知函数f（x）=m（sinx+cosx）+2sinxcosx（m是常数，x∈R）
（Ⅰ）当m=1时，求函数的最小值；
（Ⅱ）求证：?m∈R，函数y=f（x）有零点．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令t=sinx+cosx，则-$\sqrt{2}≤t≤\sqrt{2}$，当m=1时，f（x）=（sinx+cosx）+2sinxcosx=t²+t-1，结合二次函数的图象和性质，可得函数的最小值；
（Ⅱ）令g（t）=t²+mt-1，（-$\sqrt{2}≤t≤\sqrt{2}$），结合函数的零点存在定理，可得结论．

解答 解：（Ⅰ）当m=1时，f（x）=（sinx+cosx）+2sinxcosx
令t=sinx+cosx，则-$\sqrt{2}≤t≤\sqrt{2}$，且f（x）=t²+t-1
所以，当t=-$\frac{1}{2}$时，函数取得最小值为$-\frac{5}{4}$．--------------------（4分）
（Ⅱ）令t=sinx+cosx，则-$\sqrt{2}≤t≤\sqrt{2}$，且f（x）=t²+mt-1
令g（t）=t²+mt-1，（-$\sqrt{2}≤t≤\sqrt{2}$）
因为g（-$\sqrt{2}$）=1-$\sqrt{2}$m，g（$\sqrt{2}$）=1+$\sqrt{2}$m，g（0）=-1，
当m=0时，g（-$\sqrt{2}$）=g（$\sqrt{2}$）=1＞0，m，g（0）=-1＜0，函数在[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]上有零点；
当m＞0时，g（$\sqrt{2}$）=1+$\sqrt{2}$m＞0，g（0）=-1＜0，函数在[0，$\sqrt{2}$]上有零点；
当m＜0时，g（-$\sqrt{2}$）=1-$\sqrt{2}$m＞0，g（0）=-1＜0，函数在[-$\sqrt{2}$，0]上有零点；
综上，对于?m∈R函数y=g（t）有零点，即函数y=f（x）有零点．------（12分）

点评 本题考查的知识点是函数的最值及其意义，函数的零点存在定理，二次函数的图象和性质，难度中档．