Question

3．设数列{a_n}的前n项和为S_n，并且满足2S_n=${a}_{n}^{2}$+n，a_n＞0．
（1）求a₁，a₂，a₃的值，并猜想a_n的通项公式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）分别令n=1，2，3，能够求出求a₁，a₂，a₃，猜想：a_n=n，
（2）由2S_n=a_n²+n可知，当n≥2时，2S_n-1=a_n-1²+（n-1），所以a_n²=2a_n+a_n-1²-1再用数学归纳法进行证明；

解答 解：（1）当n=1时，2S₁=a₁²+1=2a₁，解得a₁=1，
当n=2时，2S₂=a₂²+2=2a₁+2a₂，解得a₂=2，
当n=3时，2S₃=a₃²+3=2a₁+2a₂+2a₃，解得a₃=3，
并猜想a_n=n
（2）①当n=1时，a₁=1成立；
②假设当n=k时，a_k=k．
那么当n=k+1时，
∵2S_k+1=a_k+1²+k+1，∴2（a_k+1+S_k）=a_k+1²+k+1，
∴a_k+1²=2a_k+1+2S_k-（k+1）=2a_k+1+（k²+k）-（k+1）=2a_k+1+（k²-1）⇒[a_k+1-（k+1）][a_k+1+（k-1）]=0．
∵a_k+1+（k-1）＞0，∴a_k+1=k+1，这就是说，当n=k+1时也成立，
故对于n∈N*，均有a_n=n．

点评 本题考查数列和不等式的综合应用，解题时要注意各种不同解法的应用，多尝试一题多解能够有效地提高解题能力．属中档题．