Question

18．在△ABC中，AB=AC，cos∠ABC=$\frac{1}{3}$，若以A，B为焦点的双曲线经过点C，那么该双曲线的离心率为3．

Answer 1

分析 先确定C在双曲线的右支上，由双曲线定义知|BD|=$\frac{1}{2}$|BC|=$\frac{1}{2}$（2c-2a）=c-a，利用cos∠ABD=$\frac{1}{3}$，即$\frac{c-a}{2c}$=$\frac{1}{3}$，即可求出双曲线的离心率．

解答 解：不妨设A、B为左、右焦点，实半轴长为a，半焦距为c，
若点C在双曲线的左支上，设BC中点为D，
由定义知|BD|=$\frac{1}{2}$|BC|=$\frac{1}{2}$（2c+2a）=c+a，
在Rt△ABD中，由cos∠ABC=$\frac{1}{3}$，
故$\frac{c+a}{2c}$=$\frac{1}{3}$，不可能；
故C在双曲线的右支上，
设BC中点为D，由双曲线定义知|BD|=$\frac{1}{2}$（2c-2a）=c-a，
在Rt△ABD中，cos∠ABD=$\frac{1}{3}$，即$\frac{c-a}{2c}$=$\frac{1}{3}$，
可得c=3a，即有e=$\frac{c}{a}$=3．
故答案为：3．

点评 本题考查双曲线的离心率，注意运用双曲线的定义和等腰三角形的性质，确定C在双曲线的右支上是关键．