Question

3．已知抛物线y²=2px的焦点坐标为（2，0），且过焦点的直线y=x-2与抛物线交于A、B两点，则△AOB的面积为8$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 求出抛物线的方程，直线方程与抛物线方程联解得一个关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系结合曲线的弦长的公式，可以求出线段AB的长度．利用点到直线的距离求出三角形的高，即可求解面积．

解答 解：∵抛物线y²=2px的焦点坐标为（2，0），
∴p=4，
∴抛物线方程为y²=8x
直线y=x-2代入到抛物线方程中，得：（x-2）²=8x
整理得：x²-12x+4=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由一元二次方程根与系数的关系得：x₁+x₂=12，x₁•x₂=4，
所以弦长|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{2}•\sqrt{144-16}$=16．
O到直线的距离为：d=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
△AOB的面积为：$\frac{1}{2}×16×\sqrt{2}$=8$\sqrt{2}$．
故答案为：8$\sqrt{2}$．

点评 本题以抛物线为载体，考查了圆锥曲线的弦长问题，属于难题．本题运用了直线方程与抛物线方程联解的方法，对运算的要求较高．利用一元二次方程根与系数的关系和弦长公式是解决本题的关键．