Question

14．已知双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的一条渐近线与直线3x+$\sqrt{6}$y+3=0垂直，以C的右焦点F为圆心的圆（x-c）²+y²=2与它的渐近线相切，则双曲线的焦距为（　　）

• A． 4
• B． 2
• C． $\sqrt{5}$
• D． $2\sqrt{5}$

Answer 1

分析 根据渐近线和直线垂直，得到a，b的关系，结合渐近线和圆相切得到a，b，c的方程，进行求解即可．

解答 解：直线3x+$\sqrt{6}$y+3=0的斜率k=-$\frac{3}{\sqrt{6}}$=-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
∵双曲线C的一条渐近线与直线3x+$\sqrt{6}$y+3=0垂直，
∴-$\frac{\sqrt{6}}{2}$•$\frac{b}{a}$=-1，
即a=$\frac{\sqrt{6}}{2}$b，
∵C的右焦点F为圆心的圆（x-c）²+y²=2与它的渐近线相切，
∴圆心F（c，0）到渐近线bx-ay=0的距离d=$\frac{|bc|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{bc}{c}$=b=$\sqrt{2}$，
即a=$\frac{\sqrt{6}}{2}$b=$\frac{\sqrt{6}}{2}$×$\sqrt{2}$=$\sqrt{3}$，
则c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{3+2}$=$\sqrt{5}$，
则双曲线的焦距为2c=$2\sqrt{5}$，
故选：D

点评 本题主要考查双曲线的方程和应用，根据直线垂直以及直线和圆相切建立方程关系进行求解是解决本题的关键．注意焦距是2c．