Question

已知

a

=(cocx-sinx，2sinx)，

b

=(cosx+sinx，

3

cosx)，并且f(x)=

a

•

b

（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）若f(x)=

10

13

且x∈[-

π

4

，

π

6

]，求sin2x的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,二倍角的正弦,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）化简可得f（x）的解析式，从而可求最小正周期，f（x）的单调递增区间．
（2）先求sin（2x+

π

6

），cos（2x+

π

6

），即可求出sin2x的值．

解答： 解：（1）由已知得f（x）且f(x)=

a

•

b

=cos2x-sin2x+2

3

sinxcosx
=cos2x+

3

sin2x=2sin(2x+

π

6

)，…（3分）
f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．…（4分）
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
可得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，
则f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z，）．…（6分）
（2）由f(x)=

10

13

得sin(2x+

π

6

)=

5

13

，…（7分）
由x∈[-

π

4

，

π

6

]，可得2x+

π

6

∈[-

π

3

，

π

2

]，
所以cos(2x+

π

6

)=

1-sin2(2x+ π 6 )

=

12

13

，…（9分）
所以sin2x=sin(2x+

π

6

-

π

6

)=sin(2x+

π

6

)cos

π

6

-cos(2x+

π

6

)sin

π

6

=

5

13

×

3

2

-

12

13

×

1

2

=

5 3 -12

26

．…（12分）

点评：本题主要考查了两角和与差的正弦函数，二倍角的正弦公式的应用，三角函数的周期性及其求法，属于基本知识的考查．